Download PDF by Dragoslav S. Mitrinovic, J. Pecaric, A.M Fink: Classical and New Inequalities in Analysis

By Dragoslav S. Mitrinovic, J. Pecaric, A.M Fink

ISBN-10: 0792320646

ISBN-13: 9780792320647

ISBN-10: 1731751761

ISBN-13: 9781731751768

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Example text

Eine Menge E ⊂ C(X) heißt gleichgradig stetig, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit |u(x) − u(y)| ≤ ε f¨ ur alle x, y ∈ X mit d(x, y) ≤ δ und f¨ ur alle u ∈ E. In der gleichgradigen Stetigkeit muß das gesuchte δ unabh¨ angig von u ∈ E sein. Ein Beispiel f¨ ur eine nicht gleichgradig stetige Funktionenmenge ist uα (x) = xα ∈ C([0, 1]) f¨ ur 0 < α ≤ 1. 33 (Arzela-Ascoli). Wenn die Funktionen in einer Menge E ⊂ C(X) gleichm¨aßig beschr¨ankt und gleichgradig stetig sind, so ist E relativ kompakt in C(X).

Dann gibt es ein F ∈ X ′ und ein γ ∈ mit ☎ Re F x < γ ≤ Re F y f¨ ur alle x ∈ A, y ∈ B. Beweis. Der Satz gilt f¨ ur - wie f¨ ur -Vektorr¨ aume. 11 wurde gezeigt, wie man aus einem reellwertigen Funktional ein komplexwertiges konstruiert. Es gen¨ ugt also, den Fall = zu betrachten. Seien a0 ∈ A, b0 ∈ B beliebig gew¨ ahlt und sei x0 = b0 − a0 . Die Menge ✟ ☎ C = x ∈ X : x = a − b + x0 f¨ ur a ∈ A, b ∈ B ist konvex (A, B sind konvex), offen (A ist offen) und enth¨ alt die Null (a0 ∈ A, b0 ∈ B). Jedem x ∈ X kann man, wenn der Halbstrahl tx, t ≥ 0, nicht ganz in C enthalten ist, ein x auf dem Rande von C zuordnen.

Sei (Ak )k∈ eine Folge von offenen und dichten Mengen des vollst¨andigen metrischen Raums X. Sei Bε0 (x0 ) eine beliebige offene Kugel alt von X. Die Menge Bε0 /2 (x0 ) ∩ A1 ist offen und dicht in Bε0 /2 (x0 ) und enth¨ demnach eine weitere offene Kugel Bε1 (x1 ) mit 0 < ε1 < ε0 /2. Durch Fortsetzung dieser Konstruktion erhalten wir eine Folge von offenen Kugeln mit ✁ Bεk (xk ) ⊂ Bεk−1 (xk−1 ) ∩ Ak , εk < 1 εk−1 . 2 42 3 Die Prinzipien der Funktionalanalysis Die Mittelpunkte xk dieser Kugeln bilden eine Cauchy-Folge und wegen der Vollst¨andigkeit von X gilt xk → x.

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by Jeff
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