Angewandte Funktionalanalysis: Funktionalanalysis, - download pdf or read online

By Manfred Dobrowolski

ISBN-10: 3540253955

ISBN-13: 9783540253952

In diesem Lehrbuch werden die Methoden der Funktionalanalysis mit ihren Anwendungen in der Theorie elliptischer Differentialgleichungen behandelt. Gleichzeitig werden dem Leser die analytischen und funktionalanalytischen S?tze n?her gebracht, die f?r die numerische Approximation elliptischer (und anderer) Differentialgleichungen bedeutsam sind. Neben dem klassischen Stoff der linearen Funktionalanalysis werden daher ausf?hrlich die Sobolevschen Funktionenr?ume (auch von negativer und gebrochener Ordnung) sowie die Existenz- und Regularit?tstheorie elliptischer Differentialgleichungen behandelt. Besonderer Wert wird auf die Umsetzung der Funktionalanalysis gelegt, additionally der Anwendung der abstrakten Theorie auf den konkreten Fall. Dies geschieht durch eine Vielzahl von Anwendungsbeispielen. Zahlreiche sorgf?ltig ausgew?hlte und kommentierte Aufgaben runden die Darstellung ab.

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Eine Menge E ⊂ C(X) heißt gleichgradig stetig, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit |u(x) − u(y)| ≤ ε f¨ ur alle x, y ∈ X mit d(x, y) ≤ δ und f¨ ur alle u ∈ E. In der gleichgradigen Stetigkeit muß das gesuchte δ unabh¨ angig von u ∈ E sein. Ein Beispiel f¨ ur eine nicht gleichgradig stetige Funktionenmenge ist uα (x) = xα ∈ C([0, 1]) f¨ ur 0 < α ≤ 1. 33 (Arzela-Ascoli). Wenn die Funktionen in einer Menge E ⊂ C(X) gleichm¨aßig beschr¨ankt und gleichgradig stetig sind, so ist E relativ kompakt in C(X).

Dann gibt es ein F ∈ X ′ und ein γ ∈ mit ☎ Re F x < γ ≤ Re F y f¨ ur alle x ∈ A, y ∈ B. Beweis. Der Satz gilt f¨ ur - wie f¨ ur -Vektorr¨ aume. 11 wurde gezeigt, wie man aus einem reellwertigen Funktional ein komplexwertiges konstruiert. Es gen¨ ugt also, den Fall = zu betrachten. Seien a0 ∈ A, b0 ∈ B beliebig gew¨ ahlt und sei x0 = b0 − a0 . Die Menge ✟ ☎ C = x ∈ X : x = a − b + x0 f¨ ur a ∈ A, b ∈ B ist konvex (A, B sind konvex), offen (A ist offen) und enth¨ alt die Null (a0 ∈ A, b0 ∈ B). Jedem x ∈ X kann man, wenn der Halbstrahl tx, t ≥ 0, nicht ganz in C enthalten ist, ein x auf dem Rande von C zuordnen.

Sei (Ak )k∈ eine Folge von offenen und dichten Mengen des vollst¨andigen metrischen Raums X. Sei Bε0 (x0 ) eine beliebige offene Kugel alt von X. Die Menge Bε0 /2 (x0 ) ∩ A1 ist offen und dicht in Bε0 /2 (x0 ) und enth¨ demnach eine weitere offene Kugel Bε1 (x1 ) mit 0 < ε1 < ε0 /2. Durch Fortsetzung dieser Konstruktion erhalten wir eine Folge von offenen Kugeln mit ✁ Bεk (xk ) ⊂ Bεk−1 (xk−1 ) ∩ Ak , εk < 1 εk−1 . 2 42 3 Die Prinzipien der Funktionalanalysis Die Mittelpunkte xk dieser Kugeln bilden eine Cauchy-Folge und wegen der Vollst¨andigkeit von X gilt xk → x.

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by David
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