Algebraische Kombinatorik [Lecture notes] - download pdf or read online

By Burkhard Külshammer

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G∈Gγ Nach Induktion operiert Gγ (k − 1)-transitiv auf Ωγ . 1 operiert G k-transitiv auf Ω. Bemerkung Wieviele Elemente in Sym(Ω) haben genau j Fixpunkte (|Ω| = n)? Es gibt genau nj Möglichkeiten für die Fixpunkte. Die restlichen n − j Elemente werden fixpunktfrei permutiert. Dafür gibt es Dn−j Möglichkeiten. Es gibt also genau nj Dn−j Elemente in Sym(Ω) mit j Fixpunkten. Daher: n |FixΩ (g)|k = g∈Sym(Ω) j=0 n Dn−j j k = j 62 n j=1 n Dn−j j k (k = 1, . . , n) . 2 folgt: B(k) = 1 n! n j=1 n Dn−j j k = j n j=1 1 Dn−j j k .

Wie viele Fixpunkte hat eine Permutation von {1, . . , n} im Durchschnitt? n Permutationen Fixpunkte n=2 1 2 1 2 , 1 2 2 1 n=3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , , 1 2 3 1 3 2 3 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , 2 1 3 2 3 1 3 1 2 Durchschnitt 2 1 6 1 Wir werden sehen, dass auch für größere n die durchschnittliche Fixpunktzahl 1 ist. (ii) Wie viele Graphen mit 4 Ecken gibt es? Ein Graph ist ein Paar (V, E) = Γ, das aus einer endlichen Menge V von Ecken13 und einer Menge E von Kanten14 besteht. Dabei ist jede Kante eine 2-Teilmenge von V .

Ferner rechnet man nach: τ 2 = idΩ . Daher operiert die Gruppe H := {idΩ , τ } auf Ω. Jede Bahn hat Länge 1 oder 2. h. x = 1, p = x + 4z = 1 + 4z, also z = k. Also: (x, y, z) = (1, 1, k). Daher ist tatsächlich {(1, 1, k)} die einzige Bahn der Länge 1. 21 Bemerkung Primzahlen der Form p = 4k + 3 lassen sich nie als Summe von zwei Quadratzahlen schreiben; denn ist a ∈ Z, so gilt im Fall a = 2m: a2 = 4m2 . h.   0 2 2 x + y = 4k + 1 (x, y ∈ Z).   2 20 i 21 g zg j y = g i g j zy = g i+j zy für y, z ∈ Z(G), i, j ∈ Z.

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by Brian
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